Enunciado

Dado que

lim x → 2 ⁡ 5 x - 7 = 3

ilustre a Definição 2 encontrando valores de δ que correspondam a ε = 0,1 , ε = 0,05 e ε = 0,01 .

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu o seguinte limite:

lim x → 2 ⁡ 5 x - 7 = 3

Com isso, queremos ilustrar a Definição 2 dessa seção 2.4 encontrando valores de δ que correspondam a ε = 0,1 , ε = 0,05 e ε = 0,01 .

Mas que definição é essa??

Bom... a definição 2 diz o seguinte:

“Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de quando x tende a a é L , e escrevemos:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Na nossa questão, vemos que f x = 5 x - 7 , a = 2 e L = 3 .

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Para ε = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

f x - L < ε ∴

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,1

O que implica em:

2,9 < 5 x - 7 < 3,1

Se

0 < x - a < δ ∴

0 < x - 2 < δ

Passo 3

Se plotarmos o gráfico de y = 2,9 , y = 3,1 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,98 ≤ x ≤ 2,02

Passo 4

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,98 = 0,02 , e a distância até a extremidade direita é 2,02 - 2 = 0,02 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,02 .

Embora tenhamos escolhido δ = 0,02 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 5

Para ε = 0,05 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que:

f x - L < ε ∴

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,05

O que implica em:

2,95 < 5 x - 7 < 3,05

Se

0 < x - a < δ ∴

0 < x - 2 < δ

Passo 6

Se plotarmos o gráfico de y = 2,95 , y = 3,05 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,99 ≤ x ≤ 2,01

Passo 7

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,99 = 0,01 , e a distância até a extremidade direita é 2,01 - 2 = 0,01 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,01 .

Embora tenhamos escolhido δ = 0,01 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Passo 8

Para ε = 0,01 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

f x - L < ε ∴

( 5 x - 7 ) - 3 < 0,01

O que implica em:

2,99 < 5 x - 7 < 3,01

se

0 < x - a < δ ∴

0 < x - 2 < δ

Passo 9

Se plotarmos o gráfico de y = 2,99 , y = 3,01 e y = 5 x - 7 , vamos achar que:

1,998 ≤ x ≤ 2,002

Passo 10

Vemos que a distância até a extremidade esquerda é 2 - 1,998 = 0,002 , e a distância até a extremidade direita é 2,002 - 2 = 0,002 .

Podemos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,002 .

Embora tenhamos escolhido δ = 0,002 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

Demonstração

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Demonstre que underset(x - a)(lim) sqrt(x) = sqrt(a) se a0 . [ Sugestão: Use |sqrt(x) - sqrt(a)| = (|x - a|)/(sqrt(x) + sqrt(a)) ]
Demonstre queunderset(x - 2)(l i m) (1)/(x) = (1)/(2)
Para o limite lim x → 1 ⁡ x 3 + x + 1 = 3 , use um gráfico para determinar o valor do δ correspondente a ε = 0,4 .Usando um sistema de computação algébrica para resolver a equação x 3 + x + 1 = 3 + ε
Se a função f for definida por f x = 0 ,s exér a c i o n a l 1 , s exéi r r a c i o n a l é é demonstre que lim x → 0 ⁡ f ( x ) não existe.
Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 0 ⁡ | x | = 0