Enunciado

Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

onde T é a temperatuda em gruas Celcius e w é a potência de entrada em watts.

  1. Qual a potência necessária para manter a temperatura em 200 ° C ?
  2. Se for permitida uma variação de ± 1 ° C a partir dos 200 ° C , qual será o intervalo de potência permitido para a entrada?
  3. Em termos da definição de ε , δ de lim x → a ⁡ f ( x ) = L , o que é x ? O que é f ( x ) ? O que é a ? O que é L ? Qual o valor de ε dado? Qual o valor correspondente de δ ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... O enunciado nos deu a seguinte função:

T w = 0,1 w 2 + 2,155 w + 20

Onde T é a temperatuda em gruas Celcius e w é a potência de entrada em watts.

Primeiramente queremos calcular a pot��ncia necessária para manter a temperatura em 200 ° C .

Para isso, deveremos fazer T = 200 e calcular o valor de w .

Em seguida, queremos o intervalo de potência permitido para a entrada sabendo que é permitida uma variação de ± 1 ° C a partir dos 200 ° C .

Para isso, faremos duas continhas para descobrir o intervalo de w : Uma com T = 199 e outra com T = 201 .

Por fim, queremos aplicar lim x → a ⁡ f ( x ) = L (juntamente com a definição de ε , δ ) nessa questão e comparar quem é quem aqui.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

(a)

Temos apenas que igualar a expressão a 200 , vamos lá:

0,1 w 2 + 2,155 w + 20 = 200 ∴

0,1 w 2 + 2,155 w - 180 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

w = - 2,155 ± 2,155 2 - 4 * 0,1 * - 180 2 * 0,1

Onde temos que:

w 1 = 33

w 2 = - 54,5

Como estamos trabalhando aqui apenas com potência positiva, então temos que:

w = 33

Passo 3

(b)

Fazendo a mesma coisa para T = 199 , temos:

0,1 w 2 + 2,155 w + 20 = 199 ∴

0,1 w 2 + 2,155 w - 1 79 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

w = - 2,155 ± 2,155 2 - 4 * 0,1 * - 1 79 2 * 0,1 ∴

w = 32,88

Agora, para T = 201 , temos:

0,1 w 2 + 2,155 w + 20 = 201 ∴

0,1 w 2 + 2,155 w - 1 81 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

w = - 2,155 ± 2,155 2 - 4 * 0,1 * - 1 81 2 * 0,1 ∴

w = 33,11

Portanto, temos que para o intervalo de temperatuda

199 ≤ T ≤ 201

Temos o seguinte intervalo de potência:

32,89 < w < 33,11

Passo 4

Bom.... agora vamos comparar o seguinte limite com o nosso probleminha:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Aqui a gente pode dizer que:

  1. x é a potência de entrada;
  2. f x é a temperatura;
  3. a é a potência de entrada pedida na letra (a);
  4. L é a tempetura atingida ( 200 ) ;
  5. ε é a tolerância da temperatura;
  6. δ é a tolerância na potência de entrada indicada na letra (b).

Resposta

(a) w = 33 watts

(b) 32,89 < w < 33,11

(c) x é a potência de entrada, f x é a temperatura, a é a potência de entrada pedida na letra (a), L é a tempetura atingida ( 200 ) , ε é a tolerância da temperatura, e δ é a tolerância na potência de entrada indicada na letra (b).

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