Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição �� , δ de limite.

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Passo 1

Fala aí meus amores!

A gente tem que demonstrar que:

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Mas já que a gente precisa fazer essa demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição:

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir o limite lim x → a ⁡ f x = L , a gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo L - ε   ,   L + ε ao redor de L , há de conseguir achar um valorzinho pra δ , que qualquer x dentro desse outro intervalinho ( a - δ , a + δ ) retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

se 0 < x - 1 < δ então 2 + 4 x 3 - 2 < ε

Calma, não se assusta com isso! Você vai ver que na verdade é bem simples!

A estratégia é a seguinte, vamos sempre partir da inequação onde aparece o ε , e vamos mexer nela até aparecer algo parecido com

0 < x - a < δ

Assim vamos definir um δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

Juntando numa fração só:

4 x - 4 3 < ϵ

Colocando o 4 em evidencia:

4 ⋅ x - 1 3 < ϵ

Opa, mas da pra colocar o 3 também!

4 3 ⋅ x - 1 < ϵ

Isto é,

x - 1 < 3 4 ϵ

Opa opa opa! Olha como isso ficou parecido com a outra inequação:

0 < x - 1 < δ

Então, basta pegarmos o δ = 3 4 ϵ que iremos satisfazer a definição.

Passo 3

Se

0 < x - 1 < 3 4 ϵ

Então

2 + 4 x 3 - 2 < ϵ

Então,

lim x → 1 ⁡ 2 + 4 x 3 = 2

Resposta

Demonstração!

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