Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ 1 + a x 1 x ,   a ≠ 0

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x =   e lim x → 0 1 x ⁡ ln ⁡ 1 + a x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 1 x ⁡ ln ⁡ 1 + a x que se trata de uma indeterminação ∞ ∞ , assim vamos aplicar L’Hôpital.

l i m x → 0 ln ⁡ 1 + a x x = l i m x → 0 a 1 + a x 1

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

l i m x → 0 a 1 + a x = a

lim x → 0 ⁡ 1 + a x 1 x =   e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + a x 1 x = e l i m x → 0 a 1 + a x = e a

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + a x 1 x = e a

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