Enunciado

Demonstre que

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 + ⁡ f 1 t

E

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 - ⁡ f 1 t

Se esses limites existirem

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para essa resolução?

Aqui a gente tem uma questão de prova, deveremos provar os limites:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 + ⁡ f 1 t

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 - ⁡ f 1 t

Isso é, devemos provar que o limite de uma função f ( x ) quando x → ∞ é igual ao limite de uma função f 1 t quando t → 0 + . E também deveremos realizar a prova para quando x → - ∞ e t → 0 - e nossa função for a f 1 t .

Costumeiramente quando devemos provar algo utilizando limites, deveremos recorrer a definição de limite, seu professor provavelmente irá exigir isso quando lhe pedir para provar, mas vamos analisar o pensamento sobre essa questão antes de partimos para a parte matemática.

Veja que, se chamarmos de:

x = 1 t

Para termos x → ∞ , aprendemos que basta chegarmos ao encontro de 0 pela direita, com valores muito próximos de 0 mas não iguais, deveremos ter então t → 0 + . Com isso em mente, vamos provar.

Passo 2

Seja

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

Então para todo ϵ > 0 , existe um N > 0 , tal que

f x - L < ϵ

Para qualquer

x > N

Isso é, podemos pensar em qualquer valor N positivo, sempre poderemos pensar em um x maior que N para qual nossa função caminhe para o seu limite L a uma distância ϵ . Iremos utilizar dessa definição de limite ao infinito.

Se t = 1 x , já que queremos provar lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 + ⁡ f 1 t

Então podemos dizer que o número N qualquer, onde sempre x > N se e apenas se

0 < 1 x < 1 N

Veja que:

x > N

Podemos escrever:

x N > 1

Agora podemos também fazer:

1 N > 1 x

Que é equivalente a dizer, pois t = 1 x :

0 < t < 1 N

Então, para todo ϵ > 0 , existe um

σ = 1 N > 0

Tal que

f 1 t - L < ϵ

Para todo

0 < t < σ

Então, sempre poderemos ter um σ que torne a relação:

lim t → 0 + ⁡ f 1 t = L = lim x → ∞ ⁡ f ( x )

Verdadeira.

Passo 3

O pensamento para provarmos

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 - ⁡ f 1 t

É semelhante.

Seja

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = L

Então para todo ϵ > 0 , existe um N < 0 , tal que

f x - L < ϵ

Para qualquer

x < N

Isso é, podemos pensar em qualquer valor N negativo, sempre poderemos pensar em um x menor que N para qual nossa função caminhe para o seu limite L a uma distância ϵ . Iremos utilizar dessa definição de limite ao infinito negativo. Onde sempre poderemos caminhar para valores cada vez mais negativos, e nossa função irá caminhar cada vez mais a L .

Se t = 1 x , já que queremos provar lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim t → 0 - ⁡ f 1 t

Então podemos dizer que o número N qualquer, onde sempre x < N se e apenas se

1 N < 1 x < 0

Que é equivalente a dizer, pois t = 1 x :

1 N < t < 0

Então, para todo ϵ > 0 , existe um

σ = - 1 N > 0

Tal que

f 1 t - L < ϵ

Para todo

- σ < t < 0

Então, sempre poderemos ter um σ que torne a relação:

lim t → 0 - ⁡ f 1 t = L = lim x → - ∞ ⁡ f ( x )

Verdadeira.

Resposta

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