Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 2

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x x 2 =   e lim x → 0 + x 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 + x 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes x 2 .

lim x → 0 + x 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x 1 / x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x x - 2

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite e fazendo algumas manipulações temos

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x - 2 x - 3 =   lim x → 0 + ⁡ c o t g ( x ) - 2 x - 3

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 0 + ⁡ c o t g ( x ) - 2 x - 3 =   lim x → 0 + ⁡ - cossec 2 ⁡ ( x ) 6 x - 4 = lim x → 0 + ⁡ - x 4 cos sec 2 ( ⁡ x ) 6 = 0

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 2 =   e lim x → 0 + x 2 ⁡ ln ⁡ sin ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ x 4 cos sec 2 ⁡ x 6 = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 2 = 1

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