Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 4)(lim) (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4)

Passo 1

Para resolver esse limite podemos pensar em apenas substituindo o valor 4 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Devemos olhar se existe alguma forma de simplificar essa expressão, para evitar essa indeterminação, então vamo lá!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

underset(x -> 4)(lim) (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4)

No numerador podemos colocar o x em evidência:

x^2 - 4 x = x ( x - 4 )

Já no denominador podemos fatorar, um dos métodos que pode ser usado é a fórmula de Bhaskara:

x^2 - 3 x - 4

x = (- b +- sqrt(- 4 . a . c + b ²))/(2 . a)

Temos que a = 1 , b = - 3 e c = - 4 .

Substituindo obtemos:

x = (+ 3 +- 5)/(2)

Assim, as raízes são:

x = - 1

e

x = 4

Ficamos assim com:

x^2 - 3 x - 4 = ( x + 1 ) ( x - 4 )

Então, obtemos:

underset(x -> 4)(lim) (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4) = underset(x -> 4)(lim) (x ( x - 4 ))/(( x + 1 ) ( x - 4 ))

Passo 3

Agora fica simples resolver o limite, podemos simplificar a expressão, pois possuímos um mesmo valor no numerador e no denominador, a expressão x - 4 :

underset(x -> 4)(lim) (x ( x - 4 ))/(( x + 1 ) ( x - 4 )) = underset(x -> 4)(lim) (x)/(x + 1)

Agora é só necessário substituir o valor 4 na expressão, e achamos a resposta!!

underset(x -> 4)(lim) (x)/(x + 1) = (4)/(4 + 1) = (4)/(5)

Resposta

underset(x -> 4)(lim) (x^2 - 4 x)/(x^2 - 3 x - 4) = (4)/(5)

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