Enunciado

Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.

30.

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2

Passo 1

Falaaa... tudo bem?

Nessa questão vamos calcular o limite:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2

E justificar cada passando, indicando a propriedade dos limites que foi usada. Vamos precisar das propriedades:

- O limite da soma é a soma dos limites:

lim x → a ⁡ f x + g x = lim x → a  ⁡ f x + lim x → a  ⁡ g x

- O limite da diferença é a diferença dos limites:

lim x → a ⁡ f x - g x = lim x → a  ⁡ f x - lim x → a  ⁡ g x

- O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o limite da função:

lim x → a  ⁡ k ⋅ f x = k ⋅ lim x → a  ⁡ f x

- O limite de um produto é o produto dos limites:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x ⋅ lim x → a ⁡ g x

- O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero):

lim x → a ⁡ f x g x   ,   s e   g x ≠ 0

Lembra o método de fazermos questões com fração e x   tendendo ao infinito?

A gente vai botar em evidência o maior expoente do numerador (parte de cima da fração) e denominador (parte de baixo da fração).

Passo 2

Vamos lá:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 - 2 x 2 + 3 x x 2 5 x 2 - 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 + 3 x 5 x 2 - 2

Como x ≠ 0 , poderemos reduzir o x 3 para x .

E reduzir x 2 , para 1.

Vai ficar dessa forma aqui:

lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 + 3 x 5 x 2 - 2

Usando a propriedade do quociente:

lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 + 3 x 5 x 2 - 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 1 - 2 x 2 + 3 x lim x → - ∞ ⁡ 5 x 2 - 2

Usando a propriedade do produto:

= l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 - 2 x 2 + 3 x l i m x → - ∞ 5 x 2 - 2

Usando as propriedades da soma e da diferença:

= l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 - l i m x → - ∞ 2 x 2 + l i m x → - ∞ 3 x l i m x → - ∞ 5 x 2 - l i m x → - ∞ 2

Usando a propriedade da multiplicação por escalar:

= l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 - 2 l i m x → - ∞ 1 x 2 + 3 l i m x → - ∞ 1 x 5 l i m x → - ∞ 1 x 2 - l i m x → - ∞ 2

Passo 3

Estamos quase terminando, vamos anotar alguns limites para substituirmos na expressão do limite.

l i m x → - ∞ x = - ∞

l i m x → - ∞ 1 = 1

l i m x → - ∞ 1 x 2 = 0

l i m x → - ∞ 1 x = 0

l i m x → - ∞ 1 x 2 = 0

l i m x → - ∞ 2 = 2

Voltando a expressão do limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2 = l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 - 2 l i m x → - ∞ 1 x 2 + 3 l i m x → - ∞ 1 x 5 l i m x → - ∞ 1 x 2 - l i m x → - ∞ 2

= - ∞ 1 - 0 + 0 0 - 2

Finalizando, agora hein! De uma vez por todas:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2 = - ∞ - 2 = ∞

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2 = ∞

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Prove: underset(x - p)(lim) f (x) = L = underset(x - p)(lim) |f (x) - L| = 0 .
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.underset(x - 2 ⁺)(lim) (g (x) - g (2))/(x - 2) o n d e g (x) = {[[x s e x = 2],[(x^2)/(2) s e x2]]) ⁺