Enunciado

Encontre as assítontas horizontal e vertical de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

39.

y = x 3 x 2 + 3 x - 10

Passo 1

Para acharmos as assíntotas, nós temos métodos particulares, para acharmos a horizontal é diferente de para achar a vertical, porém as duas tem em vão ter algo a ver com infinito, então vamos começar:

Passo 2

Começaremos com a assíntota horizontal, temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x )   e   lim x → - ∞ ⁡ f ( x )

Se der um número real, a assíntota será esse número, caso dê infinito. Não teremos assíntota horizontal. Vamos para o cálculo!

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ x 3 x 2 + 3 x - 10 = l i m x → + ∞ x 3 x 2 1 + 3 x - 10 x

Reduzindo o x 3 com o x 2 e colocando o limite em todas as parcelas, temos:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ x l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ 3 x - l i m x → + ∞ 10 x =

l i m x → + ∞ x = ∞

l i m x → + ∞ 1 = 1

l i m x → + ∞ 3 x = 0

l i m x → + ∞ 10 x = 0

Substituindo tudo para dentro do limite, temos isso aqui:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ x l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ 3 x - l i m x → + ∞ 10 x = ∞

Então, não temos assíntota horizontal para x positivo.

Faremos a mesma coisa para x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ x 3 x 2 + 3 x - 10 = l i m x → + ∞ x 3 x 2 1 + 3 x - 10 x

Reduzindo o x 3 com o x 2 e colocando o limite em todas as parcelas, temos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 3 x - l i m x → - ∞ 10 x =

l i m x → - ∞ x = - ∞

l i m x → - ∞ 1 = 1

l i m x → - ∞ 3 x = 0

l i m x → - ∞ 10 x = 0

Botando para dentro da expressão do limite, temos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → - ∞ x l i m x → - ∞ 1 + l i m x → - ∞ 3 x - l i m x → - ∞ 10 x = - ∞

Então, não temos assíntota horizontal para x negativo.

Passo 3

Agora, partiremos para a assíntota vertical, como fazemos para calcular?

Temos primeiramente que ver os valores de x na qual a função f ( x ) não existe, para essa função da questão são os valores que anular o denominar.

x 2 + 3 x - 10 = 0

Os valores de x que anulam o denominador - 5 e 2 :

Faremos os limites de x tendendo a esses valores e se der infinito, então a reta x = - 5 , no caso do ponto x = - 5 e igualmente para x = 2 . Ficou confuso? Vamos fazer as contas e aí você entenderá melhor:

Temos sempre que fazer o limite à esquerda e direita do ponto ( os chamados limites laterais).

Começaremos por x → - 5

lim x → - 5 ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10

Temos que para x > - 5   e próximo de - 5 :

x 3 é negativo

x 2 + 3 x - 10 é negativo.

Então para pontos à direita de - 5 :

lim x → - 5 + ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10 = + ∞

Para x < - 5 :

x 3 é negativo

x 2 + 3 x - 10 é positivo.

Então para pontos á esquerda de - 5 :

lim x → - 5 - ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10 = - ∞

A reta x = - 5 é assíntota vertical.

Faremos agora para x → - 2 :

lim x → - 5 ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10

Temos que para x > - 2   e próximo de -2:

x 3 é negativo

x 2 + 3 x - 10 é negativo.

Então para pontos à direita de 2 :

lim x → - 2 + ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10 = + ∞

Para x < - 2 e próximo de 2:

x 3 é negativo

x 2 + 3 x - 10 é positivo.

Então para pontos á esquerda de 2 :

lim x → 2 - ⁡ x 3 x 2 + 3 x - 10 = - ∞

A reta x = 2 é assíntota vertical.

As assíntotas verticais de vermelho e azul, o gráfico de verde e lembra não temos assíntotas horizontais!

Resposta

x = 2

x = - 5

São as assíntotas verticais.

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