Enunciado

Calcule os limites indicados no Exercício 2 e comprar seus resultados com as estimativas obtidas.

Passo 1

a) L = lim x → 3 ⁡ x 2 - 9 x - 3

Nesse caso, temos que fatorar para não cairmos na indeterminação 0 / 0 . Para isso, vamos usar a diferença de quadrados:

x 2 - 9 = x - 3 x + 3

Assim,

L = lim x → 3 ⁡ x - 3 x + 3 x - 3

Simplificando:

L = lim x → 3 ⁡ x + 3

Para x = 3 :

L = 6

O que condiz com o que achamos no exercício 2 letra a.

Passo 2

b)

L = lim x → - 2 ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 2 - 4

Aqui teremos o mesmo problema se substituirmos x = 2 direto, olha só:

L = 2 2 - 6 + 2 2 2 - 4 = 0 0

Então vamos fatorar o numerador. Para isso, vamos resolver a seguinte equação do segundo grau:

x 2 - 3 x + 2

Assim,

x = 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1

Portanto,

x = 2 ou x = 1

Fatorando:

x 2 - 3 x + 2 = x - 2 x - 1

Voltando para o limite as coisas vão ficar o seguinte:

L = lim x → - 2 ⁡ x - 2 x - 1 x 2 - 4

Repare que podemos fazer a diferença de quadrados no denominador:

L = lim x → - 2 ⁡ x - 2 x - 1 x - 2 x + 2

Cortando o x - 2 :

L = lim x → - 2 ⁡ x - 1 x + 2

Se viermos pela esquerda de - 2 e denominador fica um valor muito pequeno e negativo. Assim,

L = ∞

Se viermos pela direita de 2 o denominador fica um valor muito pequeno e positivo. Logo,

L = - ∞

Como os limites laterais são diferentes, então o limite não existe e condiz com o que achamos no exercício 2 letra b.

Passo 3

c)

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 3 - 1

Pra facilitar nossa vida, podemos trocar x por u 6 . Assim,

L = lim u → 1 ⁡ u 3 - 1 u 2 - 1

Se fizermos u = 1 iremos cair numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então bora partir pra fatoração. Vamos lembrar de algumas fatorações que a gente tem que saber de cabeça.

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

a 2 - b 2 = a - b a + b

Então nosso limite ficará o seguinte:

L = lim u → 1 ⁡ u - 1 u 2 + u + 1 u - 1 u + 1

Simplificando:

L = lim u → 1 ⁡ u 2 + u + 1 u + 1

Agora é só substituir x = 1 . Logo,

L = 3 2

O que condiz com o que achamos na letra c do exercício 2.

Passo 4

d)

L = lim x → 1 ⁡   x - 1 x 3 - 1

Se fizermos x = 1 vamos cair numa indeterminação, olha só:

L = 0 0

Nesse caso temos que usar a mesma fatoração do item anterior. Assim,

x 3 - 1 = x - 1 ( x 2 + x + 1 )

Substituindo no limite:

L = l i m x → 1 x - 1 x - 1 x 2 + x + 1

Simplificando:

L = l i m x → 1   1 x 2 + x + 1

Pra finalizar, basta fazermos x = 1 . Portanto:

L = 1 3

O que condiz com o que achamos na letra d do exercício 2.

Resposta

Todos os limites do condizem com os achados no exercício 2

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40. Em cada parte, encontre o menor número positivo N , tal que para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , a função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que ε unidades do número L = 0 .b) ϵ = 0,01
39. c) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = 1 x 3 não esteja mais longe do que 0,001 unidade de L = 0 .
39. a) Encontre o menor número positivo N , tal que, para cada ponto x no intervalo N ,+ ∞ , o valor da função f x = 1 x 2 não esteja mais longe do que 0,1 unidade de L = 0 .
39. d) Encontre o maior número negativo N , tal que, para cada ponto x no intervalo - ∞ ,N , o valor da função f x = x x + 1 não esteja mais longe do que 0,01 unidade de L = 1 .