Enunciado

Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

∑ n = 1 ∞ 0,6 n - 1

Passo 1

Beleza, galera? Bora calcular as primeiras dez somas parciais da série?

S 1 = a 1 = 0,6 1 - 1 = 1 , 00000

S 2 = a 1 + a 2 = 1 + 0,6 2 - 1 = 1,6 0000

S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = S 2 + a 3 = 1,6 + 0,6 2 = 1,96 000

S 4 = S 3 + a 4 = 1,96 + 0,6 3 = 2,176 00

S 5 = 2,30560

S 6 = 2,38336

S 7 = 2,43001

S 8 = 2,45800

S 9 = 2,47480

S 10 = 2,48488

Passo 2

Show! Agora vamos fazer o gráfico da sequência de termos a 1 , a 2 , … e o gráfico da sequência de somas parciais S 1 , S 2 ,   … :

Em azul, a sequência de termos; em vermelho, a sequência de somas parciais

Olhando pro gráfico da sequência de termos, ele parece convergir pra 0 , que seria uma condição necessária (mas não suficiente) pra série convergir.

E se a gente olhar pro gráfico da sequência de somas parciais, ele parece convergir pra algo em torno de 2,5 , será?

Passo 3

Pra confirmar nossa observação do gráfico, vamos calcular a soma da série:

∑ n = 1 ∞ 0,6 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 0,6 0,6 n

Olha só, isso é a soma infinita de uma progressão geométrica com r = 0,6 < 1 . O primeiro termo é a 1 = 1 , então:

∑ n = 1 ∞ 0,6 n - 1 = a 1 1 - r = 1 1 - 0,6 = 1 0,4 = 2,5

Exatamente como pensamos, né mesmo?

Resposta

Série convergente

∑ n = 1 ∞ 0,6 n - 1 = 2,5

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