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Calcule os momentos M x e M y e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos encontrar os momentos M x e M y e o centro de massa de uma lâmina. Para isso iremos utilizar os conceitos de centro de massa e momento.

Passo 2

O quarto de círculo possui a seguinte equação

y = 1 - x 2

E a reta possui a seguinte equação

y = x - 1

Podemos então escrever a seguintes integrais

M x = ρ ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 2 - x - 1 2 d x

M y = ρ ∫ 0 1 x 1 - x 2 - x - 1 d x

Passo 3

Resolvendo as integrais, temos

M x = 3 2 - 2 3 x 3 + x 2 0 1 = 1 2

M y = 3 - 1 3 1 - x 2 3 / 2 - 1 3 x 3 + 1 2 x 2 0 1 = 3 2

Podemos encontrar o centroide utilizando a seguinte relação

x - = M y m = 3 2 3 4 π + 2 = 2 π + 2

y - = M x m = 1 2 3 4 π + 2 = 2 3 π + 2

Resposta

M x = 1 2

M y = 3 2

x - ,   y - = 2 π + 2 ,   2 3 π + 2

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