15. Calcule

a )   ∫ s e n   x   s e n   3 x   d x  

Passo 1

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica sin ⁡ a sin ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) . Logo,

∫ s e n   x   s e n   3 x   d x   =   ∫ 1 2 cos ⁡ x - 3 x - cos ⁡ ( x + 3 x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ - 2 x - cos ⁡ 4 x d x

Passo 2

Precisamos lembrar que ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Então,

1 2 ∫ cos ⁡ - 2 x - cos ⁡ 4 x d x = 1 2 1 - 2 sin ⁡ - 2 x - 1 4 sin ⁡ 4 x + k

= - 1 4 sin ⁡ - 2 x - 1 8 sin ⁡ 4 x + k

Como seno é uma função ímpar, sin ⁡ - 2 x = - sin ⁡ 2 x . Ficamos com:

= - 1 4 sin ⁡ - 2 x - 1 8 sin ⁡ 4 x + k = 1 4 sin ⁡ 2 x - 1 8 sin ⁡ 4 x + k

Resposta

Portanto, a resposta de integral é

∫ s e n   x   s e n   3 x   d x   =   1 4 sin ⁡ 2 x - 1 8 sin ⁡ 4 x + k

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