Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S

F x , y , z = x 2 sen ⁡ z i + y 2 j + x y k

S é a parte do paraboloide z = 1 - x 2 - y 2 que está acima do plano x y , orientado para cima.

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

O paraboloide intercepta o plano x y formando o círculo x 2 + y 2 = 1 ,   z = 0 . Essa é a curva C que deve ser orientada no sentido anti-horário quando visto de cima. Parametrizando essa equação, temos:

C : r t = cos ⁡ t i + sen ⁡ t j ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Então,

r ' t = - s e n ⁡ t i + cos ⁡ t j

Escrevendo o campo vetorial, temos:

F r t = cos ⁡ t 2 sen ⁡ 0 i + sen ⁡ t 2 j + cos ⁡ t sen ⁡ t k = sen 2 ⁡ t j + sen ⁡ t cos ⁡ t k

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r = ∫ 0 2 π F r t . r ' t d t

∬ S r o t F . d S = ∫ 0 2 π ( sen 2 ⁡ t j + sen ⁡ t cos ⁡ t k ) ( - s e n ⁡ t i + cos ⁡ t j ) d t

∬ S r o t F . d S = ∫ 0 2 π 0 + sen 2 ⁡ t cos ⁡ t + 0 d t = 1 3 sen 3 ⁡ t 0 2 π

∬ S r o t F . d S = 0

Resposta

∬ S r o t F . d S = 0

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