Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

F x , y , z = ( x + y 2 ) i + ( y + z 2 ) j + ( z + x 2 ) k

C é o triângulo com os vértices 1,0 , 0 ,   0,1 , 0   e   0,0 , 1 .

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

A nossa curva C é um triângulo com vértices 1,0 , 0 ,   0,1 , 0   e   0,0 , 1 . Aqui nós temos a liberdade de escolher qual superfície S é limitada por C . Vamos escolher uma região que está dentro do triângulo dado, beleza? Assim, S   faz parte do plano x + y + z = 1 .

Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = - 2 z   i - 2 x   j - 2 y   k

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

A projeção de S no plano x y é D , que é um triângulo com coordenadas 0,0 , 1,0   e   0,1 e sabemos que S faz parte do plano z = 1 - x - y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - - 2 z - 1 - - 2 x - 1 + - 2 y d A

∬ S F . d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x - 2 d y d x

∬ S F . d S = - 2 ∫ 0 1 1 - x d x

∬ S F . d S = - 1

Resposta

∫ C F . d r = - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S . F x , y , z = y i + z j + x k S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,y ≥ 0 , orientado na direção positiva do eixo
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima. F x , y , z = x y i + ( y z ) j + ( z x ) k C é a fronteira de parte do parabo
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S r o t F . d S F x , y , z = e x y i + e x z j + x 2 z k S é metade do elipsoide 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 4 está à direita do plano x z , orientado na direção pos
Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r , onde F x , y , z = x 2 y i + 1 3 x 3 j + x y k e C é a curva resultante do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 e o cilindro x 2 + y 2 = 1 , orient
Calcule ∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z Onde C é a curva r t = sen ⁡ t , cos ⁡ t , sen ⁡ 2 t ,0 ≤ t ≤ 2 π . (Dica: observe que C está na superfície z = 2 x y )