Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

h)

B = {(x, y) ∈ R^2 | x >= 0, x^5 - x <= y <= 0}

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

Tem-se também:

x ≥ 0

E

x 5 - x ≤ y ≤ 0

No entanto, um detalhe deve ser observado! Para que as inequações que definem o valor das variáveis coincidam, o valor de x é limitado para:

0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ x 5 - x 0 y   d y d x

Resolvendo a primeira integral, temos:

F = ∫ 0 1 y 2 2 x 5 - x 0 d x

Avaliando os limites de integração, temos:

F = ∫ 0 1 - x 5 - x 2 2 d x = - 1 2 ∫ 0 1 x 10 - 2 x 6 + x 2 d x

Resolvendo cada termo, temos:

∫ 0 1 x 10   d x = 1 11

∫ 0 1 - 2 x 6   d x = - 2 7

∫ 0 1 x 2   d x = 1 3

Juntando tudo e resolvendo, temos:

F = - 1 2 ⋅ 1 11 - 2 7 + 1 3

F = 16 231

Resposta

F = 16 231

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