Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se observar que existem duas regiões diferentes entre as duas curvas, sendo que a primeira está no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 com y = x acima de y = x 2 , enquanto que a segunda está no intervalo 1 ≤ x ≤ 2 com y = x 2 acima de y = x .

Com isso, deverá ser feito o cálculo das duas regiões e o resultado final será dado pela soma delas.

Passo 2

Assim, é possível calcular para a primeira região:

F 1 = ∫ 0 1 ∫ y = x 2 y = x y d y d x

F 1 = ∫ 0 1 y 2 2 | y = x y = x 2 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 1 = ∫ 0 1 1 2 x 2 - x 4 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F 1 = 1 2 x 3 3 - x 5 5 | 1 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F 1 = 1 2 1 3 - 1 5 = 1 15

Passo 4

Agora, para a segunda região:

F 2 = ∫ 1 2 ∫ y = x y = x 2 y d y d x

F 2 = ∫ 1 2 y 2 2 | y = x 2 y = x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 2 = ∫ 1 2 1 2 x 4 - x 2 d x

Passo 5

Agora, integrando em relação a x :

F 2 = 1 2 x 5 5 - x 3 3 | 2 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F 2 = 1 2 32 5 - 8 3 - 1 5 - 1 3 = 29 15

Passo 6

Por fim, resta calcular a subtração citada no início da resolução. Logo:

F = F 1 + F 2 = 1 15 + 29 15

F = 2

Resposta

2

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