Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Pode-se determinar que 0 ≤ x ≤ 1 e, para cada valor de x :

0 ≤ y ≤ x

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ 0 y = x y d y d x

F = ∫ 0 1 y 2 2 | y = x y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 1 x 2 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = 1 2 x 3 3 | 1 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 6 - 0 = 1 6

Resposta

1 6

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