Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B :

Podemos ver a curva que fica acima da outra muda a partir do ponto onde elas se cruzam.

Dessa forma, para a primeira região:

- 1 ≤ x ≤ 0

E

x 2 ≤ y ≤ x + 2

Para a região I I :

0 ≤ x ≤ 1

E

x ≤ y ≤ x + 2

Por fim, para a região I I I :

1 ≤ x ≤ 2

E

x 2 ≤ y ≤ x + 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F 1 = ∫ - 1 0 ∫ y = x 2 y = x + 2 x d y d x

F 1 = ∫ - 1 0 x y | y = x + 2 y = x 2 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 1 = ∫ - 1 0 x x + 2 - x 2 d x

F 1 = ∫ - 1 0 - x 3 + x 2 + 2 x d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F 1 = - x 4 4 + x 3 3 + x 2 | x = 0 x = - 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F 1 = 1 4 + 1 3 - 1

F 1 = - 5 12

Passo 4

Em relação à segunda região:

F 2 = ∫ 0 1 ∫ y = x y = x + 2 x d y d x

F 2 = ∫ 0 1 x y | y = x + 2 y = x d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 2 = ∫ 0 1 x x + 2 - x d x

F 2 = ∫ 0 1 2 x d x

Passo 5

Fazendo a integração em relação a x :

F 2 = x 2 | x = 1 x = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F 2 = 1

Passo 6

Por último, para a região I I I :

F 3 = ∫ 1 2 ∫ y = x 2 y = x + 2 x d y d x

F 3 = ∫ 1 2 x y | y = x + 2 y = x 2 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 3 = ∫ 1 2 x x + 2 - x 2 d x

F 3 = ∫ 1 2 - x 3 + x 2 + 2 x d x

Passo 7

Integrando em relação a x :

F 3 = - x 4 4 + x 3 3 + x 2 | x = 2 x = 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F 3 = - 4 + 8 3 + 4 + 1 4 - 1 3 - 1

F 3 = 19 12

Passo 8

Portanto, a resposta final será dada por:

F = F 1 + F 2 + F 3

F = - 5 12 + 1 + 19 12 = 26 12

F = 13 6

Resposta

13 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados