Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

cos(x) / (x^2 + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = cos ⁡ x

e

g x = x 2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = cos ⁡ x x 2 + 1 ' = cos ⁡ x ' ⋅ x 2 + 1 - cos ⁡ x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h ' ( x ) = cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

g ' ( x ) = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x 1 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = cos ⁡ x ' ⋅ x 2 + 1 - cos ⁡ x ⋅ x 2 + 1 ' x 2 + 1 2 = - sen ⁡ x ⋅ x 2 + 1 - cos ⁡ x ⋅ 2 x x 2 + 1 2 = - sen ⁡ x x 2 + 1 - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

Resposta

f ' ( x ) = - sen ⁡ x x 2 + 1 - 2 x cos ⁡ x x 2 + 1 2

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