Enunciado

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a .

f x = 2 x 2 ; a = 1

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h 2 - 2 x 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x 2 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x h + 2 h 2 - 2 x 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 x h + 2 h 2 h = lim h → 0 ⁡ 4 x + 2 h = 4 x + 2 ⋅ 0 = 4 x

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = 1 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos achar o ponto x 0 , y 0 , já temos que x 0 = 1 , vamos então aplicar esse valor em f x para achar y 0 :

y 0 = f 1 = 2 ⋅ 1 2 = 2

E agora vamos achar a inclinação f ' 1 , substituindo na derivada que achamos no passo 1 :

f ' 1 = 4 ⋅ 1 = 4

Passo 4

Pronto, temos só que substituir os valores na equação, o ponto 1,2 e a inclinação f ' 1 = 4 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - 2 = 4 x - 1 →

y - 2 = 4 x - 4 →

y = 4 x - 2

Resposta

f ' x = 4 x e y = 4 x - 2

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