Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

raiz(x) sec(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x

e

g x = sec ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x ' ⋅ sec ⁡ x + sec ⁡ x ' ⋅ x

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = x ' = x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x 1 - 2 2 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

g ' ( x ) = sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x ' ⋅ sec ⁡ x + sec ⁡ x ' ⋅ x = 1 2 x ⋅ sec ⁡ x + sec ⁡ x tg ⁡ x ⋅ x = sec ⁡ x 2 x + x sec ⁡ x tg ⁡ x

Resposta

f ' x = sec ⁡ x 2 x + x sec ⁡ x tg ⁡ x

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