f) ∫ cos 2 ⁡ 2 x s e n 2 2 x d x  

Passo 1

Esse tipo de questão é bem importante, então vamos com calma pra você entender tudo.

Da trigonometria, temos:

s e n 2 x = 2 ⋅ s e n x ⋅ cos ⁡ x → s e n x ⋅ cos ⁡ x = s e n 2 x 2

Queremos integrar o seguinte:

E = cos 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n 2 2 x

Viu que ta parecido?! Então vamos usar relação!!

Passo 2

Nossa expressão é o seguinte:

E = cos 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n 2 2 x = s e n 2 x ⋅ c o s ⁡ ( 2 x ) 2

Usando a relação ali de cima:

E = s e n 4 x 2 2 = 1 4 ⋅ s e n 2 ( 4 x )

Mas da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 ⋅ s e n 2 x → s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Usando na nossa expressão:

E = 1 4 ⋅ 1 - cos ⁡ 8 x 2

Essas relações trigonométricas do c o s ( 2 x ) e s e n ( 2 x ) são bem importantes!! Então já deixa na manga.

Assim,

E = 1 8 ⋅ 1 - cos ⁡ 8 x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ cos 2 ⁡ 2 x ⋅ s e n 2 2 x d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 8 ⋅ 1 - cos ⁡ ( 8 x   d x = 1 8 ⋅ ∫ d x - 1 8 ⋅ ∫ cos ⁡ 8 x d x  

Integrando:

I = 1 8 ⋅ x - 1 8 ⋅ s e n 8 x 8 + c

Logo,

I = x 8 - s e n 8 x 64 + c

Resposta

x 8 - s e n 8 x 64 + c

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