Enunciado

Calcule a seguinte integral tripla:

∭ W z   d x d y d z

Onde W é a região limitada pelas superfícies z = x 2 + y 2 ,   y = x 2 ,   z = 0   e   y = 1 .

Passo 1

Vocês estão prontas crianças?? Hôôôôôôô....

Faaalaa marujo, vamos de mais integral tripla.

Como nesse exercício já temos a integral, não precisa ficar se matando tentando desenhar o esboço 3D dele.

Vamos precisar somente das projeções para definir os limites dessa integral.

Projetando isso no plano x y , teremos algo mais ou menos assim:

Pegou a idéia?

Passo 2

Com isso, podemos tentar identificar os limites de integração.

Consegue perceber que:

- 1 ≤ x ≤ 1

Enquanto que se sairmos da origem no sentido positivo de y encontramos primeiro a parábola y = x 2 e depois damos de cara com a reta y = 1 ; portanto:

x 2 ≤ y ≤ 1

Agora vamos dar uma olhada em z , se descolarmos do plano mais cedo ou mais tarde vamos dar de frente com o cone:

0 ≤ z ≤ x 2 + y 2

Então show debola, estamos com os três limites da integral.

Passo 3

Teremos o seguinte:

I = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 ∫ 0 x 2 + y 2 z   d z d y d x

Lembrando sempre da ordenação das integrais e dos decimais, de dentro pra fora.

Então vamos começar:

I = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 z 2 2 d y d x z = x 2 + y 2 z = 0

I = ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 x 2 + y 2 2 d y d x

Seguindo:

I = 1 2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 x 2 d y d x + 1 2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 y 2 d y d x

Vamos dividir em duas partes pra não confundir os bois:

I 1 = 1 2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 x 2 d y d x

I 1 = 1 2 ∫ - 1 1 x 2 y d x y = 1 y = x 2

Portanto:

I 1 = 1 2 ∫ - 1 1 x 2 1 - x 2 d x

I 1 = 1 2 ∫ - 1 1 x 2 - x 4 d x

E finalmente:

I 1 = 1 2 x 3 3 - x 5 5 x = 1 x = - 1

Chegamos em:

I 1 = 1 2 1 3 - - 1 3 - 1 5 - - 1 5

I 1 = 1 2 2 3 - 2 5 = 2 15

Quase acabando, a segunda integral:

I 2 = 1 2 ∫ - 1 1 ∫ x 2 1 y 2 d y d x

Let’s bora:

I 2 = 1 2 ∫ - 1 1 y 3 3 d x y = 1 y = x 2  

I 2 = 1 2 ∫ - 1 1 1 3 - x 6 3 d x = 1 6 ∫ - 1 1 1 - x 6 d x

Agora o x :

I 2 = 1 6 x - x 7 7 x = 1 x = - 1

Chegamos em:

I 2 = 1 6 2 - 2 7 = 2 7

Cuidado com a ansiedade, essa ainda não é a resposta:

I = 2 15 + 2 7 = 44 105

É isso! Até mais!!

Resposta

A solução para a integral dada é:

∭ W z   d x d y d z = 44 105

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Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.h) W = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 4 ,x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 2 ,z ≤ 3 x 2 + y 2
Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.d) É limitado pelo cone z = x 2 + y 2 , pelo cilindro x 2 + y 2 - x 2 + y 2 = x e por z = 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 2 ∫ 0 2 - y ∫ 0 4 - y 2 d x d z d y
Determine o volume do sólido dado. Acima do paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo do semicone z = x 2 + y 2 .
Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0ey + z = 3 .