Enunciado

Determine o volume do sólido dado. Limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelos planos z = 0   e   y + z = 3 .

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular o volume do sólido descrito no problema, o que nada mais é do que calcular a integral acima de acordo com a região dada. Agora, como temos um cilindro envolvido na nossa região de integração, fica mais simples de resolver nosso problema se utilizarmos coordenadas cilíndricas. Assim escreveremos nossa integral de forma iterada, nas coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa resolução, de modo que obteremos

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 3 - r ⋅ sin ⁡ θ r   d z   d r   d θ

Passo 2

Agora que temos nossa integral de forma iterada, fica simples de resolver nosso problema pois basta vir resolvendo a integral da mais interna para a mais externa, sem nos esquecer, é claro, que ao integrarmos em uma variável devemos considerar a outra como constante. Sendo assim, resolvendo a integral mais interna temos

∫ 0 3 - r ⋅ sin ⁡ θ r   d z   = r ⋅ z 0 3 - r ⋅ sin ⁡ θ = 3 r - r 2 ⋅ sin ⁡ θ

Dessa forma, ficamos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r - r 2 ⋅ sin ⁡ θ         d r   d θ

Continuando a resolução novamente com a integral mais interna vamos ter

∫ 0 2 3 r - r 2 ⋅ sin ⁡ θ         d r = 3 r 2 2 - r 3 3 ⋅ sin ⁡ θ 0 2 = 6 - 8 3 ⋅ sin ⁡ θ

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples

∫ 0 2 π 6 - 8 3 ⋅ sin ⁡ θ   d θ = 6 θ + 8 3 ⋅ cos ⁡ θ 0 2 π = 12 π

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

Resposta

12 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral tripla ∭ E x d V Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4
Calcule a integral tripla. ∭ E zd V , onde E é limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 3 x e z = 0 no primeiro octante
Calcule a integral tripla. ∭ T x 2d V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 )
Calcule a integral tripla. ∭ T x y zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 1 , 1,0 ) e ( 1 , 0,1 )
Determine a região E para a qual a integral ∭ E 1 - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2d V é máxima.