29. Calcule a integral

∫ tan 3 ⁡ x sec 6 ⁡ ( x )   d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ tan 3 ⁡ x sec 6 ⁡   ⁡ ( x )   d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 6 ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) d x

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Então, substituindo

∫ tan 2 ⁡ x sec 6 ⁡ x t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 6 ⁡ x   t a n ⁡ ( x ) d x

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = s e c ⁡ ( x ) , então d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x , então, substituindo

= ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec 6 ⁡ x   t a n ⁡ ( x ) d x = ∫ u 2 - 1 u 5 d u

∫ u 7 - u 5 d u = u 8 8 - u 6 6 + C

sec 8 ⁡ x 8 - sec 6 ⁡ x 6 + C

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ tan 3 ⁡ x sec 6 ⁡ ( x ) d x = sec 8 ⁡ x 8 - sec 6 ⁡ x 6 + C

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