Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x + y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x + y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x + y d y d x

A partir do esboço do conjunto B :

Pode-se observar que, devido à variação do valor da variável x , a figura pode ser separada ao meio, onde a equação das retas (que representam os lados do triângulo) se altera. Ainda, como o valor de x tem maior variação, torna-se mais conveniente deixá-lo em função da outra variável e manter y com variação constante.

Conclui-se, então, que os intervalos serão:

y ≤ x ≤ y + 2

E

0 ≤ y ≤ 1

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 1 ∫ x = y x = y + 2 x + y d x d y

F = ∫ 0 1 x y + x 2 2 | x = y + 2 x = y d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 0 1 y + 2 y + y + 2 2 2 - y 2 - y 2 2 d y

F = ∫ 0 1 4 y + 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

F = 2 y 2 + 2 y | y = 1 y = 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 2 + 2 - 0

F = 4

Resposta

4

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