Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

E fazendo o desenho do conjunto B :

Para determinar o resultado do triângulo desejado, é possível fazer isso através da subtração dos triângulos formados pelos vérticas 0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   ( 2 ,   1 ) e 1 ,   0 ,   2 ,   0 ,   ( 2 ,   1 ) . Dessa forma, se torna necessário o cálculo de duas integrais duplas, uma para cada um desses triângulos, tal que os intervalos de integração pro triângulo maior são:

0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x / 2

E pro triângulo menor são:

1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x - 1

Passo 2

Assim, é possível calcular para o triângulo maior:

F 1 = ∫ 0 2 ∫ 0 y = x / 2 y d y d x

F 1 = ∫ 0 2 y 2 2 | y = x / 2 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 1 = ∫ 0 2 1 2 x 2 4 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F 1 = 1 8 x 3 3 | 2 0

E, substituindo o intervalo de integração:

F 1 = 1 3 - 0 = 1 3

Passo 4

Agora, para o triângulo menor:

F 2 = ∫ 1 2 ∫ 0 y = x - 1 y d y d x

F 2 = ∫ 1 2 y 2 2 | y = x - 1 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F 2 = ∫ 1 2 1 2 x - 1 2 d x = ∫ 1 2 1 2 x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 5

Agora, integrando em relação a x :

F 2 = 1 2 x 3 3 - x 2 + x | 2 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F 2 = 1 2 8 3 - 4 + 2 - 1 3 - 1 + 1 = 1 6

Passo 6

Por fim, resta calcular a subtração citada no início da resolução. Logo:

F = F 1 - F 2 = 1 3 - 1 6

F = 1 6

Resposta

1 6

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