Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B x y   d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y x y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x x y d y d x

Fazendo o esboço do conjunto B conclui-se que a figura é um círculo de raio r = 2 , mas devido às restrições das variáveis apenas uma região é a desejada. Então, desenhando essas restrições tem-se que a região amarela é a correta:

Só que vamos dividir em três partes:

Primeira:

0   ≤   x   ≤   2

E

- 2 - x 2   ≤   y   ≤   0

Segunda:

0   ≤   x   ≤   1 (que é o ponto onde a reta encontra a circunferência)

E

0   ≤   y   ≤   x

Terceira:

1   ≤   x   ≤   2

E

0   ≤   y   ≤   2 - x 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 2 ∫ y = - 2 - x 2 y = 0 x y d y d x + ∫ 0 1 ∫ y = 0 y = x x y d y d x + ∫ 1 2 ∫ y = 0 y = 2 - x 2 x y d y d x

F = ∫ 0 2 x y 2 2 y = - 2 - x 2 y = 0   d x + ∫ 0 1 x y 2 2 y = 0 y = x   d x + ∫ 1 2 x y 2 2 y = 0 y = 2 - x 2   d x

Substituindo o intervalo de integração em y :

F = ∫ 0 2 x   0 2 - - 2 - x 2 2 2 d x + ∫ 0 1 x x 2 2 - 0 2 d x + ∫ 1 2 x 2 - x 2 2 2 - 0 2 d x

F = ∫ 0 2 x   - 2 + x 2 2 d x + ∫ 0 1 x x 2 2 d x + ∫ 1 2 x 2 - x 2 2 d x

F = ∫ 0 2 - 2 x 2 + x 3 2   d x + ∫ 0 1   x 3 2   d x + ∫ 1 2 2 x 2 - x 3 2   d x

F = ∫ 0 2 - x + x 3 2   d x + ∫ 0 1   x 3 2   d x + ∫ 1 2 x - x 3 2   d x

Passo 3

Agora, integrando em relação a x :

F = - x 2 2 + x 4 4   .   2 0 2   +   x 4 4   .   2 0 1   + x 2 2 - x 4 4   .   2 1 2

F = - 2 2 2 + 2 4 4   .   2 - - 0 2 2 + 0 4 4   .   2 +   1 4 4   .   2 - 0 4 4   .   2 + 2 2 2 - 2 4 4   .   2 - 1 2 2 - 1 4 4   .   2

F =   - 2 2 + 4 8 + 1 8 + 2 2 - 4 8 - 1 2 + 1 8

F =   - 1 + 1 2 + 1 8 + 1 - 1 2 - 1 2 + 1 8

F =   1 8 - 1 2 + 1 8

F =   - 2 8

Show de bola! Conseguimos!

Resposta

- 2 8

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