Calcule a derivada segunda.

x = e^t \* cos(t)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h t g t ' = h ' t g t + g ' t h t

Temos que:

h t = e t

e

g t = cos ⁡ t

Assim:

x ' = d x d t = d d t e t cos ⁡ t = h ' t g t + g ' t h t = e t ' ⋅ cos ⁡ t + cos ⁡ t ' ⋅ e t

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica:

e f t ' = e f t ⋅ f ( t ) '

cos ⁡ t ' = - sen ⁡ t

sen ⁡ t ' = cos ⁡ t

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra da função exponencial:

h ' ( t ) = e t ' = e t ⋅ t ' = e t ⋅ t 1 - 1 = e t ⋅ t 0 = e t ⋅ 1 = e t

Com g ' ( t ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( t ) = cos ⁡ t ' = - sen ⁡ t

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

x ' = d x d t = d d t t sen ⁡ t = h ' t g t + g ' t h t = e t ' ⋅ cos ⁡ t + cos ⁡ t ' ⋅ e t = e t ⋅ cos ⁡ t + - sen ⁡ t ⋅ e t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora x ' :

x ' ' = x ' ' = d 2 x d t 2 = d d t d x d t = d d t e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t ' = e t cos ⁡ t + e t - sen ⁡ t - e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t - e t sen ⁡ t - e t cos ⁡ t = - 2 e t sen ⁡ t

Resposta

x ' ' = d 2 x d t 2 = - 2 e t sen ⁡ t

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