10. Calcule

i)

∫ 5 x + e - x d x

Passo 1

Queremos calcular a seguinte integral:

I = ∫ 5 x + e - 1 d x

Separando em dois termos, temos:

I = ∫ 5 x d x + ∫ e - x d x

Da seção 12.1 desse capítulo, temos o seguinte:

c ) ∫ e x   d x = e x + k

Logo,

∫ e - x d x = - e - x + k

Então basta calcularmos ∫ 5 x d x !

Passo 2

Então vamos deixar o 5 x parecido com a relação aí de cima.

5 x = e ln ⁡ 5 x

Logo,

I = ∫ e ln ⁡ 5 x   d x

Como ln ⁡ 5 x = x ln ⁡ ( 5 ) :

I = ∫ e x ln ⁡ 5 d x

Pra finalizar, vamos fazer a seguinte substituição:

u = x ln ⁡ 5

Derivando,

d u = ln ⁡ ( 5 ) d x

Passo 3

Nossa integral era:

I = ∫ e x ln ⁡ 5 d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ e u 1 ln ⁡ 5 d u

Assim,

I = 1 ln ⁡ 5 ∫ e u d u

Usando a relação do Passo 1:

I = 1 ln ⁡ 5 e u + k 1

Como u = x ln ⁡ 5 :

I = 1 ln ⁡ 5 e x ln ⁡ 5 + k 1

Portanto:

I = 1 ln ⁡ 5 e x ln ⁡ 5 + k 2

Agora é só juntar tudo!

I = ∫ 5 x d x + ∫ e - x d x

Por fim,

I = 1 ln ⁡ 5 e x ln ⁡ 5 + k 2 + ( - e - x + k )

Juntando tudo em uma constante e usando que 5 x = e ln ⁡ 5 x :

I = 1 ln ⁡ 5 5 x - e - x + k

Resposta

∫ 5 x + e - x  dx ⁡   = 1 ln ⁡ 5 5 x - e - x + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados