Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k   ,                     r t = t 3   i - t 2   j + t   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = s e n t 3 i + cos ⁡ - t 2 j + t 3 t   k = s e n t 3   i + cos ⁡ ( t 2 ) j + t 4   k

r ' t = 3 t 2   i - 2 t   j + k

Então,

∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 s e n t 3 , cos ⁡ t 2 ,   t 4   .   3 t 2 ,   - 2 t ,   1   d t = ∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t = - cos ⁡ t 3 - s e n t 2 + t 5 5 0 1 = - cos ⁡ 1 - s e n   1 + 1 5 + 1 + 0 - 0 = 6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

Resposta

6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → ( t ) . F → x , y ,z = y z i ^ + x z j ^ + x y k ^ , r → t = t i ^ + t 2 j ^ + t 3 k ^ , 0 ≤ t ≤ 2
19-22. Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .20. F x ,y ,z = x + y 2 i + x z j + y + z k ,r t = t 2 i + t 3 j - 2 t k ,0 ≤ t ≤ 2
28- Determine o valor exato de ∫ C F. d r , onde F x , y , z = x 4 e y i + ln ⁡ zj + y 2 + z 2k e C é o segmento de reta entre ( 1,2 , 1 ) a ( 6,4 , 5 ) .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = s e nxi + cos ⁡ y j + x zk, r t = t 3i - t 2j + tk,0 ≤ t ≤ 1