Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D x y   d A ,   o n d e   D = x , y   0 ≤ y ≤ 1 ,   y 2 ≤ x ≤ y + 2 }

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: D = x , y   0 ≤ y ≤ 1 ,   y 2 ≤ x ≤ y + 2 } . Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

∫ 0 1 ∫ y 2 y + 2 x y   d x   d y  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ y 2 y + 2 x y   d x = x 2 y 2 y 2 y + 2 = y ⋅ y + 2 2 - y 4

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 y ⋅ y + 2 2 - y 4   d y = 1 2 ⋅ ∫ 0 1 y 3 + 4 y 2 + 4 y - y 5   d y =

1 2 ⋅ y 4 4 + 4 y 3 3 + y 2 - y 6 6 0 1 = 1 2 ⋅ 1 4 + 4 3 + 1 - 1 6 = 41 24

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

41 24

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