Enunciado

Uma luminária tem três lâmpadas, cada uma com vida média de 800   h o r a s . Se modelarmos a probabilidade de falha das lâmpadas por uma função densidade exponencial com média 800 , determine a probabilidade das três lâmpadas virem a falhar dentro de um intervalo de 1   000   h o r a s .

Passo 1

E aí meus chuchus, tudo bom? Se liguem só, o enunciado nos diz que cada lâmpada obedece uma função densidade exponencial, ou seja, para cada lâmpada a gente vai ter

0 ,   s e   t < 0 1 800 ⋅ e - t 800 ,   s e   t ≥ 0

Pois bem, Se X , Y   e   Z são os tempos de vida das lâmpadas individuais, então X , Y e   Z são independentes, então a função de densidade da junta é o produto das funções de densidade individuais:

1 800 3 ⋅ e - x + y + z 800 ,   s e   x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

A probabilidade de que todas as três lâmpadas falhem em um total de 1000 horas é P X + Y + Z ≤ 1000 ou equivalente P X , Y , Z ∈ E onde E é a região sólida no primeiro octante limitada pelos planos de coordenadas e o plano x + y + z = 1000 . O plano x + y + z = 1000 encontra o o plano x y   na linha x + y =   1000 , então temos

P X + Y + Z ≤ 1000 = ∫ ∫ ∫ E f x , y , z   d V =

∫ 0 1000 ∫ 0 1000 - x ∫ 0 1000 - x - y 1 800 3 ⋅ e - x + y + z 800     d z   d y   d x =

- 1 800 2 ⋅ ∫ 0 1000 ∫ 0 1000 - x e - 5 4 - e - x + y 800 d y   d x =

- 1 800 2 ⋅ ∫ 0 1000 e - 5 4 ⋅ 1800 - x - 800 e - x 800 d x   =

- 1 800 2 ⋅ e - 5 4 ⋅ 1800 - x 2 - 800 2 e - x 800 0 1000 ≈ 0,1315

Pronto, tá resolvido mais um exercício sem muito problema.

Resposta

0,1315

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