Enunciado

Calcule.

59- int_0^1 3^x e^x d x

Passo 1

Galerinha, para resolver essa integral nós temos que nos lembrar de duas coisas. A primeira é o 1 ° teorema fundamental do cálculo:

Se for integrável em [ a , b ] e se F for uma primitiva de f em [ a , b ] , então

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

A outra coisa é uma propriedade exponencial:

a^(log_a b) = b

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( x ) para encontrar a nossa primitiva F ( x ) , e depois substituir os limites de integração.

E aí, bora começar ?!

Passo 2

Cara, a gente não sabe resolver a integral da forma que ela está, então, vamos dar uma melhorada nela!

Vamos começar aplicando e^(ln f (x)) na função para depois aplicar a propriedade exponencial,

int_0^1 3^x e^x d x = int_0^1 e^(ln 3^x) e^(ln e^x) d x

Aplicando, a^(log_a b) = b , ficamos com,

= int_0^1 e^(ln 3^x) e^x d x = int_0^1 e^(ln 3^x + x) d x

Olha, pode até parecer que a integral está mais difícil, mas agora vai ser tranqs de resolver.

Passo 3

Agora, nós temos que lembrar de uma regrinha específica pra resolver essas integrais:

int e^(a x) = (e^(a x))/(a)

Onde a é a nossa constante.

A nossa integral é a seguinte:

int_0^1 e^(ln 3^x + x) d x

Lembre-se que:

log_b a^x = x log_b a

Assim,

int_0^1 e^(x ( ln 3 + 1 )) d x

Como x é a nossa variável e ( ln 3 + 1 ) é a nossa constante, temos:

int_0^1 e^(x ( ln 3 + 1 )) d x = (((e^(x ( ln 3 + 1 ))))/((l n 3 + 1))|_0^1

Passo 4

Utilizando o primeiro teorema fundamental do cálculo, obtemos:

((e^(l n 3) xx e))/((l n 3 + 1)) - (e^0)/(ln 3 + 1) = (3 e)/((l n 3 + 1)) - (1)/(ln 3 + 1) = (3 e - 1)/(ln 3 + 1)

Fim!

Resposta

(3 e - 1)/((l n 3 + 1))

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