Calcule a integral :

∫ 1 4 y - y y 2 d y

Passo 1

Primeiramente, podemos desmembrar o integrando a fim de termos uma melhor visualização:

∫ y - y y 2 d y = ∫ y y 2 d y - ∫ y y 2 d y

Simplificando podemos escrever:

∫ y - 3 2 d y - ∫ 1 y d y

Passo 2

Feito o passo 1, percebemos que o primeiro integrando é do tipo y n , e o segundo é do tipo 1 y . Identicadas as integrais, sabemos que:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1 + C

E

∫ 1 y d y = ln ⁡ y + C

Passo 3

Calculando enfim as integrais temos:

∫ y - 3 2 d y - ∫ 1 y d y = y - 1 2 ( - 1 2 ) - ln ⁡ y + C

Simplificando obtemos:

- 2 y - ln ⁡ y + C

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:

- 2 4 - ln ⁡ 4 - - 2 1 - ln ⁡ 1 = - 1 - l n 4 + 2 = 1 - l n 4

Resposta

O resultado da integral é 1 - l n 4 .

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