4. Calcule

j)

∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x

Passo 1

Queremos integrar o seguinte:

I = ∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x

Pra começar, vamos mexer nesse denominador. Vem comigo!

D = x 2 + 2 x + 5

Lembra que x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1   ?!, Então:

D = x 2 + 2 x + 1 + 4

Isto é,

D = x + 1 2 + 4

Passo 2

Antes nossa integral era:

I = ∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x

Usando o desenvolvimento do Passo 1:

I = ∫ 1 x + 1 2 + 4 d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

∫ d u 1 + u 2 = arctg ⁡ u + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho. Pra começar, vamos colocar o 4 em evidencia para aparecer aquele 1 do termo 1 + u 2 .

I = ∫ 1 4 x + 1 2 4 + 1 d x

Passo 3

Agora vamos fazer uma substituição, olha só:

u 2 = x + 1 2 4 →   u = x + 1 2

Derivando,

d u = 1 2 d x → d x = 2   d u

Nossa integral fica o seguinte:

I = ∫ 1 4 u 2 + 1 2   d u

Portanto,

I = 1 2 ∫ d u 1 + u 2

Usando o resultado do Passo 1:

I = 1 2 arctg ⁡ u + C

Voltando para variável x e juntando as constantes:

I = 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + k

Resposta

∫ 1 x 2 + 2 x + 5 d x = 1 2 arctg ⁡ x + 1 2 + k

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