Enunciado

Utilize a transformação x = u 2 , y = v 2 , z = w 2 para determinar o volume da região limitada pela superfície x + y + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Se liguem só, a questão pede para que utilizemos a transformação mencionada para poder encontrar o valor da integral, então, não há pra onde correr, se quisermos resolver a questão de forma correta devemos proceder como o enunciado nos pede. Então, escrevendo a transformação em forma de sistema temos

x = u 2 y = v 2 z = w 2

Para encontrarmos o jacobiano dessa transformação de variável vamos ter

∂ x , y , z ∂ u , v , w = 2 u 0 0 0 2 v 0 0 0 2 w = 8 u v w

Passo 2

Sendo assim, nossa integral de volume será dada por

V = ∫ ∫ ∫ E   d V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u ∫ 0 1 - u - v 8 u v w   d w   d v   d u = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u v ⋅ 1 - u - v 2   d v   d u

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u 4 u ⋅ 1 - u 2 ⋅ v - 8 u ⋅ 1 - u v 2 + 4 u v 3   d v   d u =

V = ∫ 0 1 2 u 1 - u 4 - 8 3 u ⋅ 1 - u 4 + u 1 - u 4 d u = ∫ 0 1 u 3 ⋅ 1 - u 4   d u

V = ∫ 0 1 1 3 ⋅ 1 - u 4 - 1 - u 5   d u =

Finalmente, agora só resolver essa última integral e nosso problema está resolvido, então teremos

V = 1 3 ⋅ - 1 5 ⋅ 1 - u 5 + 1 6 ⋅ 1 - u 6 0 1 = 1 90

Pronto, acabamos mais um exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral tripla.11. ∫ ∫ ∫ E 2 xd V E = x , y , z 0 ≤ y ≤ 2 ,0 ≤ x ≤ 4 - y 2 ,0 ≤ z ≤ y }
Calcule a integral tripla.
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