Calcule

s) ∫ 0 1 x x + 1 5 d x

Passo 1

Olá, tudo tranquilo?

Aqui temos que calcular a integral do item s)

∫ 0 1 x x + 1 5 d x

Para resolvermos essa integral uma substituição apropriada é uma excelente escolha, já que ela não é uma integral ‘tabelada’.

Passo 2

Para calcular esta integral temos que fazer uma substituição simples:

∫ 0 1 x x + 1 5 d x

Onde:

u = x + 1

Logo:

u - 1 = x

d u = d x

O novo intervalo de integração é dado por:

x = 1

Então:

u = 2

E quando:

x = 0

u = 1

Substituindo

∫ 1 2 u - 1 u 5 d u = ∫ 1 2 u u 5 d u - ∫ 2 2 1 u 5 d u

Fazendo a primeira integral:

∫ 1 2 u u 5 d u = ∫ 1 2 1 u 4 d u

Isso é:

∫ 1 2 1 u 4 d u = - 1 3 ⋅ 1 u 3

Para a segunda temos:

∫ 1 2 1 u 5 = - 1 4 1 u 4

Agora basta reverter a substituição:

- 1 3 1 u 3 - - 1 4 1 u 4 = - 1 3 1 x + 1 3 + 1 4 1 x + 1 4 0 1  

Passo 3

Agora basta substituir os limites de integração:

- 1 3 1 x + 1 3 + 1 4 1 x + 1 4 0 1

∫ 0 1 x x + 1 5 d x = - 1 3 1 8 + 1 4 1 16 - - 1 3 + 1 4

∫ 0 1 x x + 1 5 d x = - 1 24 + 1 64 + 1 3 - 1 4  

Agora fazendo o mmc:

∫ 0 1 x x + 1 5 d x = - 1 24 + 1 64 + 1 3 - 1 4

∫ 0 1 x x + 1 5 d x = - 8 192 + 3 192 + 64 192 - 48 192

∫ 0 1 x x + 1 5 d x = 11 192

Resposta

  ∫ 0 1 x x + 1 5 d x = 11 192

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