Calcule a integral indefinida

∫ 10 x + 1 10 x - 1     d x  

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

∫ a x d x = a x ln ⁡ a

Propriedade da exponencial

a b = e b ln ⁡ a

Passo 2

Usaremos propriedade da exponente

10 x = e x l n 10    

Logo fazendo

u = 10 x =   e x l n 10

du = ln10   .     e x l n 10 dx = ln10 . u dx

Logo Nossa função fica

∫ 10 x + 1 10 x - 1     d x =   ∫ u + 1   u - 1   . 1 ln ⁡ 10 u     d u

Expandindo nossa integral

u + 1 u u - 1   =   u u u - 1 + 1 u u - 1  

= 1 u - 1 +   1 u u - 1  

Expandindo 1 u u - 1  

1 u u - 1 = 1 u - 1 - 1 u

Logo temos

∫ u + 1   u - 1   . 1 ln ⁡ 10 u     d u = 1 l n 10 ∫ 1 u - 1 + 1 u - 1 - 1 u       d u

= 1 l n 10 ∫ 2 u - 1 - 1 u       d u  

= 1 l n 10 2 ln ⁡ u - 1 - l n u  

= 1 l n 10 2 ln ⁡ 10 x - 1 - l n 10 x  

E como é uma integral indefinida temos que somar a uma constante arbitrária C.

Resposta

∫ 10 x + 1 10 x - 1     d x = 1 l n 10 2 ln ⁡ 10 x - 1 - l n 10 x   + C  

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