Enunciado

Uma calha deve ser construída com uma folha de metal de largura 30   c m dobrando-se para cima 1 / 3 da folha de cada lado, fazendo um ângulo θ com a horizontal. Como deve ser escolhido θ de forma que a capacidade de carregar água da calha seja máxima?

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?!

Temos aqui um problema de maximização de área. O enunciado pede pra a gente calcular o ângulo θ de modo que a capacidade de uma calha seja máxima. Se liga nessa imagem:

Ué, mas não seria uma maximização de volume?!

Sim, mas nesse caso a área da base vai ser constante, então podemos considerar apenas a área transversal da calha. Beleza?

Nesse problema vamos ter que escrever uma expressão que nos de a área A   em função de θ e deriva-la para achar θ onde A ( θ ) é máximo.

Vamos colocar a mão na massa?!

Passo 2

O que temos aqui é um trapézio, sua área é dada por:

A = B + b h 2

Para achar uma relação da área com θ vamos dividir o trapézio em dois triângulos iguais e um retângulo, assim:

Dessa forma podemos dizer que:

sin ⁡ θ = h 10

cos ⁡ θ = d 10

Além disso:

b = 10

B = 10 + 2 d

B = 10 + 20 cos ⁡ θ

Substituindo:

A θ = 10 + 10 + 20 cos ⁡ θ 10 sin ⁡ θ 2

A θ = 100 sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

A fórmula que queremos maximizar é a seguinte:

A θ = 100 sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Para isso vamos calcular A ' θ = 0 :

A ' θ = 100 - sin 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

A ' θ = 100 - sin 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Sabendo que:

- sin ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ - 1

A ' θ = 100 cos 2 ⁡ θ - 1 + cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

A ' θ = 100 2 cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1

Rearranjando e igualando a zero:

A ' θ = 100 2 cos 2 ⁡ θ - 1 cos ⁡ θ + 1 = 0

2 cos 2 ⁡ θ = 1

cos 2 ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 2 2

θ = π 3

Ou:

cos ⁡ θ = - 1

θ = π

Mas lembra do nosso intervalo? 0 ≤ θ ≤ π 2 , então vamos excluir esse resultado.

Passo 4

Fazendo o teste da derivada com os valores extremos e θ = π 3 :

A 0 = 0

A π 2 = 100

A π 3 = 75 3 ≈ 129,9

Visto isso, a área máxima será quando θ = π 3 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

θ = π 3

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