Enunciado

Encontre a área máxima do retângulo que pode ser circunscrito em torno de um dado retângulo com comprimento L   e largura W . [Sugestão: Expresse a área como uma função do ângulo θ .]

Passo 1

Esboçando os dados do enunciado num desenho temos:

Passo 2

A área que queremos maximizar é:

A ( θ ) = ( a + b ) ( c + d )

Como nossa fórmula ainda depende de muitas variáveis, vamos usar os recursos dados pela figura para isolá-las.

No pequeno triângulo com lados a e c e hipotenusa W temos:

se n ⁡ θ = a W   → a = se n ⁡ θ W

cos ⁡ θ = c W   → c = cos ⁡ θ W

No triângulo com lados b ,   d e hipotenusa L temos:

se n ⁡ θ = d L   → d = se n ⁡ θ L

cos ⁡ θ = b L   → b = cos ⁡ θ L

Substituindo em A θ :

A θ = se n ⁡ θ W + cos ⁡ θ L   cos ⁡ θ W + se n ⁡ θ L

A θ = W 2 se n ⁡ θ cos ⁡ θ + W L se n 2 ⁡ θ + W L cos 2 ⁡ θ + L ²   se n ⁡ θ cos ⁡ θ  

A θ = W L se n 2 ⁡ θ + W L cos 2 ⁡ θ + ( L 2 + W 2 )  se n ⁡ θ cos ⁡ θ  

A θ = W L ( se n 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ) + ( L 2 + W 2 ) 1 2 2  se n ⁡ θ cos ⁡ θ  

A θ = L W + 1 2 L 2 + W 2 se n ⁡ 2 θ ,   0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Essa expressão mostra, sem cálculos, que o máximo valor de A θ ocorre quando:

se n ⁡ 2 θ = 1   → 2 θ = π 2   →   θ = π 4

Conseguimos ver isso porque o seno de π 2 = 1 , que é o valor máximo que a função pode atingir.

Então a máxima área é:

A π 4 = L W + 1 2 L 2 + W 2 = 1 2 L 2 + 2 L W + W 2 = 1 2 ( L + W ) ²

Resposta

Área máxima: 1 2 ( L + W ) ²

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