Enunciado

Encontre uma solução para a equação logística modificada.

d P d t = P a - b P 1 - c P - 1 ,     a ,   b ,   c > 0

Passo 1

Então pessoal, aqui o que precisamos fazer é simplificar tudo que pudermos para facilitar nossa integração, ok? Temos que:

d P P a - b P 1 - c P - 1 = d t

Se simplificarmos, teremos:

b a - b c . 1 a - b P + 1 a - b c . 1 P - c d P = d t

E agora o que temos que fazer é integrar ambos os lados, saca só:

∫ b a - b c . 1 a - b P + 1 a - b c . 1 P - c d P = ∫ d t

b a - b c ∫ d P a - b P + 1 a - b c ∫ d P P - c = ∫ d t

Então bora que bora resolver essas integrais!

Passo 2

A primeira integral é:

b a - b c ∫ d P a - b P

Para resolve-la vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = a - b P

d u = - b d P

Substituindo, teremos:

b a - b c . - 1 b ∫ d u u = - 1 a - b c ln ⁡ u + k 1

Voltando para u :

b a - b c ∫ d P a - b P = - 1 a - b c ln ⁡ a - b P + k 1

A segunda integral é:

1 a - b c ∫ d P P - c

O resultado dela é bem conhecido:

1 a - b c ∫ d P P - c = 1 a - b c ln ⁡ P - c + k 2

E, por fim, a última integral é:

∫ d t = t + k 3

Show! Resolvemos todas as integrais!

Passo 3

Agora que integramos tudo que era possível, vamos unir os resultados, ó:

- 1 a - b c ln ⁡ a - b P + k 1 + 1 a - b c ln ⁡ P - c + k 2 = t + k 3

Juntando as constantes:

- 1 a - b c ln ⁡ a - b P + 1 a - b c ln ⁡ P - c = t + K

Simplificando, teremos:

1 a - b c ln ⁡ P - c a - b P = t + K

ln ⁡ P - c a - b P = a - b c t + K 1

P - c a - b P = K 1 e a - b c t

∴ P t = c + a K 1 e a - b c t 1 + b K 1 e a - b c t

E está aí nossa resolução!

Resposta

P t = c + a K 1 e a - b c t 1 + b K 1 e a - b c t

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