Enunciado

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução

e x   s e n   y - 2 y   s e n   x + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x y ' = 0

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x d y = - ( e x   s e n   y - 2 y   s e n   x ) d x

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

e x   s e n   y - 2 y   s e n   x d x + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x d y = 0

Assim temos que

d d y e x   s e n   y - 2 y   s e n   x - d d x e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x = e x cos ⁡ y - 2   s e n   x - ( e x cos ⁡ y - 2   s e n   y ) = 0

E nossa solução é exata

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( e x   s e n   y - 2 y   s e n   x )

E

d d y Y x , y = ( e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ e x   s e n   y - 2 y   s e n   x d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = e x   s e n   y + 2 y cos ⁡ x + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y e x   s e n   y + 2 y cos ⁡ x + C y

= e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x + C ' y = ( e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x )

Com

C ' y = 0

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = e x   s e n   y + 2 y cos ⁡ x + C

Resposta

Y x , y = e x   s e n   y + 2 y cos ⁡ x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que qualquer equação separável M x + N y y ' = 0 Também é exata.
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução. 2 x + 3 + 2 y - 2 y ' = 0
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução e xs e ny + 3 y - 3 x - e x s e ny y ' = 0
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução y / x + 6 x + ln ⁡ x - 2 y ' = 0 ; x0
Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada μ ( x , y ) seja um fator de integração ( 2 y 2 + 3 x ) d x + ( 2 x y ) d y = 0 , μ x , y = x