Dada f(x) = (1/12)x^4 + (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 8x + 2 . Para que valores de xf''(x) > 0 ?

Passo 1

Precisaremos fazer a derivada da função primeiro para depois analisarmos quando ela é positiva:

f ' x = d d x 1 12 x 4 + 2 3 x 3 + 3 2 x 2 + 8 x + 2

Derivando cada termo:

f ' ( x ) = d d x 1 12 x 4 + d d x 2 3 x 3 + d d x 3 2 x 2 + d d x 8 x + d d x 2

Podemos resolver cada derivada diretamente, ficando com:

f ' x = 1 3 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 8

Passo 2

Agora precisamos derivar mais uma vez:

f " ( x ) = x 2 + 4 x + 3

Passo 3

E então podemos analisar para quais valores de x f " ( x ) > 0 . Primeiro vamos reescrever a função:

f " ( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 )

E então o produto dos dois termos deve ser sempre maior que 0, com isso temos dois casos:

Caso 1 – x + 1 > 0   e   x + 3 > 0 , para que o produto seja maior que 0, portanto, x > - 1   e   x > - 3 , como x > - 1 é o maior dos dois valores, ele prevalece.

Caso 2 – x + 1 < 0   e   x + 3 < 0 ,   para que o produto seja maior do que zero, portanto, x < - 1   e   x < - 3 , como x < - 3 é o menor entre os dois valores, ele prevalece.

Então, f " ( x ) > 0 quando x < - 3 ou x > - 1 .

Resposta

f " ( x ) > 0 quando x < - 3 ou x > - 1 .

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