Enunciado

Dada f (x) = (1)/(12) x^4 + (2)/(3) x^3 + (3)/(2) x^2 + 8 x + 2 . Para que valores de x f " ( x ) > 0 ?

Passo 1

Precisaremos fazer a derivada da função primeiro para depois analisarmos quando ela é positiva:

f ' (x) = (d)/(d x) ((1)/(12) x^4 + (2)/(3) x^3 + (3)/(2) x^2 + 8 x + 2)

Derivando cada termo:

f ' ( x ) = (d)/(d x) ((1)/(12) x^4) + (d)/(d x) ((2)/(3) x^3) + (d)/(d x) ((3)/(2) x^2) + (d)/(d x) (8 x) + (d)/(d x) (2)

Podemos resolver cada derivada diretamente, ficando com:

f^' (x) = (1)/(3) x^3 + 2 x^2 + 3 x + 8

Passo 2

Agora precisamos derivar mais uma vez:

f " ( x ) = x^2 + 4 x + 3

Passo 3

E então podemos analisar para quais valores de x f " ( x ) > 0 . Primeiro vamos reescrever a função:

f " ( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 )

E então o produto dos dois termos deve ser sempre maior que 0, com isso temos dois casos:

Caso 1 – (x + 1) > 0 e (x + 3) > 0 , para que o produto seja maior que 0, portanto, x > - 1 e x > - 3 , como x > - 1 é o maior dos dois valores, ele prevalece.

Caso 2 – (x + 1) < 0 e (x + 3) < 0 , para que o produto seja maior do que zero, portanto, x < - 1 e x < - 3 , como x < - 3 é o menor entre os dois valores, ele prevalece.

Então, f " ( x ) > 0 quando x < - 3 ou x > - 1 .

Resposta

f " ( x ) > 0 quando x < - 3 ou x > - 1 .

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