Enunciado

A cidade de Nova Delhi, na Índia, está localizada a uma latitude de 30 o   N . Use a Figura 9 para encontrar uma função que modele o número de horas de luz solar em Nova Delhi como uma função da época do ano. Para verificar a precisão do seu modelo, use o fato de que nessa cidade, em 31 de março, o Sol surge às 6 h 13 da manhã e se põe às 18 h 39 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Essa questão aqui é sobre transformação de gráficos! Ta preparado? Bora meter ficha então! Nosso primeiro passo é identificar quem vai ser a nossa função modelo.

Dando uma olhada na Figura que a questão nos dá, é possível perceber que os gráficos desenhados lembram um pouco uma senóide, o gráfico da função seno. Da uma olhada em uma senóide caso não estejas mlembrando como ela é:

A diferença é que o gráfico que temos no enunciado (referente à 30 o   N ) está deformado e deslocado com relação ao gráfico de uma senóide, então vamos ter que encontrar os parâmetros que descrevem a nossa curva! A curva mais geral possível de uma senóide é da seguinte forma:

L t = a + b   .   s e n c . t + d

Na nossa função, L ( t ) será a a quantidade de luz solar em horas, t o tempo em dias, a o deslocamento na vertical, b o fator de deformação na vertical, c o fator de deformação na horizontal e d o deslocamento na horizontal, beleza?

Passo 2

Agora, nós iremos verificar o deslocamento vertcal da curva. É possível perceber que ela se encontra 12 unidades acima do eixo x , que é onde a função f t = s e n t fica. Logo, nossa função está deslocada 12 unidades para cima, ou seja, teremos que a = 12 .

Passo 3

Para acharmos a deformação na vertical, temos que verificar a amplitudeda função. Uma função seno normal tem amplitude 1 (atinge um máximo valor em 1 e um mínimo valor em - 1 ). Para acharmos a amplitude do nosso gráfico, temos que tirar a diferença entre o maior e o menor valor da função e dividir por 2 .

O maior valor é 14 e o menor valor é 10 . Fazendo as contas:

y = 1 2 14 - 10 = 2

Sendo assim, acabamos de descobrir que o nosso b = 2 , beleza?

Passo 4

Para achar a deformação na horizontal, temos que pensar no período da função seno (já deu para perceber que essa é quase puramente sobre função seno, né? Ela aparece que só em Cálculo lá na frente, então qualquer coisa dá uma revisada para ficar com ela na ponta da língua!).

O período de uma função seno é 2 π . O nosso gráfico atua sobre os dias no ano: como temos 365 dias no ano, esse deve ser o período do nosso modelo.

Para achar o nosso fator de deformação na horizontal temos que, então, dividir 2 π por 365 (o período da senóide normal pelo período da senóide que a gente quer). Ou seja, teremos que c = 2 π 365 .

Passo 5

Esse é o último número que precisamos, o deslocamento horizontal d ! O gráfico começa em 21 de março, que é o 80 o dia do ano. Logo, o nosso gráfico tem que ficar 80 unidades para a direita com relação a função seno normal. Teremos então que d = - 80 (o sinal de menos desloca para a direita, beleza? Se fosse positivo, o deslocamento seria para a esquerda).

Passo 6

Temos todos os valores que procurávamos! O nosso modelo vai ficar assim:

L t = 12 + 2   .   s e n 2 π 365 .   t - 80

O enunciado fala para a gente testar o modelo para um intervalo de tempo de 6 h 13 até 18 h 39 , o que vai dar um tempo de 12 h 26 . Temos que transforar esse 26 de minutos para horas e, para isso, dividimos por 60 :

26 60 = 0,433

Logo, nosso intervalo de tempo de luz do dia é de 12,433 horas. Esse é o tempo de luz do dia que de fato se tem na cidade, agora nós temos que achar o tempo que o nosso modelo fornece!

Como, de acordo com o enunciado, estamos lidando com o dia 31 de março, que é o 90 o dia do ano, teremos t = 90 . Jogando na nossa função:

L 90 = 12 + 2   .   s e n 2 π 365 .   90 - 80

L 90 = 12 + 2   .   s e n 2 π 365 .   10

O seno de 20 π 365 é, aproximadamente, 0,171 . Substituindo:

L 90 = 12 + 2   .   0,171

L 90 = 12,342

Pronto, achamos a quantidade de luz solar pelo nosso modelo!

Passo 7

Calma que ta acabando, esse é o nosso último passo! Vamos comparar o valor do modelo 12,342 com o valor real 12,433 . Para fazer isso nós calculamos o erro percentual, dado pela seguinte expressão:

e r r o   p e r c e n t u a l = v a l o r   r e a l - v a l o r   e s t i m a d o v a l o r   r e a l   .   100 %

Substituindo os valores, a gente vai ter:

e r r o   p e r c e n t u a l = 12,433 - 12,342 12,433   .   100 % = 0,091 12,433   .   100 %

e r r o   p e r c e n t u a l = 0,007   .   100 % = 0,7 %

O nosso erro percentual deu menos que 1 % , ou seja, a precisão do nosso modelo é excelente!

Pronto, terminamos a questão! Ela é meio longa mas sabendo direitinho como funciona a função seno e prestando atenção no gráfico, é só fazer com calma que sai ;)

Resposta

A função modelo é:

L t = 12 + 2   .   s e n 2 π 365 .   t - 80

E a sua precisão é muito boa, tendo um erro menor que 1 % com relação aos valores reais.

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