Enunciado

Coeficientes angulares de senoides

  1. Determine as equações para as tangentes às curvas y = sen ⁡ 2 x e y = - sen ⁡ x / 2 na origem. Existe algum aspecto diferente no modo como essas tangentes estão relacionadas? Justifique a sua resposta.
  2. O que se pode dizer sobre as tangentes às curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ x m na origem (m é uma constante ≠ 0 )? Justifique sua resposta.
  3. Para dado m , quais são os maiores valores de coeficiente angular que as curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ ( x / m ) podem ter? Justifique sua resposta.
  4. A função y = sen ⁡ x completa um período no intervalo [ 0   ,   2 π ] , a função y = sen ⁡ 2 x , dois períodos, a função y = sen ⁡ ( x / 2 ) , meio período, e assim por diante. Existe alguma relação entre o número de período que y = sen ⁡ m x completa em 0   ,   2 π e o coeficiente angular da curva y = sen ⁡ m x na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para podermos resolver esta questão, precisamos relembrar a equação de uma reta. Desta forma, uma reta é dada pela seguinte equação:

y - y 0 = m x - x 0

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. No caso da origem, o ponto é O = ( 0,0 ) . O que nos falta determinar é esse m . O que ele é?

O número m é chamado de coeficiente angular da reta. E ele é calculado através da derivada da nossa função! Revisado estes conceitos, vamos a nossa questão.

Passo 2

Vamos determinar as equações das retas tangentes às curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ x / m na origem O = ( 0,0 ) para poder comparar o que ocorre com elas. Portanto, precisamos obter o coeficiente angular de cada uma das retas. Vamos começar por obter o da função y = sen ⁡ m x . Derivando-a, temos:

d y d x = m cos ⁡ m x

Quando x = 0 , temos d y d x = m .

Agora, para y = - sen ⁡ x / m , temos:

d y d x = - 1 m cos ⁡ ( x / m )

Consequentemente, quando x = 0 , d y d x = - 1 m

Passo 3

Vamos obter a equação das retas tangentes agora. Para a curva y = sen ⁡ m x , temos:

y - 0 = m x - 0

y = m x

Já para a curva y = - sen ⁡ ( x / m ) , temos:

y - 0 = - 1 m x - 0

y = - 1 m x

Passo 4

Agora vamos analisar a relação entre ambas as retas tangentes. Observe o produto entre os dois coeficientes angulares.

m ⋅ - 1 m = - 1

Como o produto entre o coeficiente angular de ambas deu - 1 , sabemos que elas são perpendiculares!

Resposta

A reta tangente à curva y = sen ⁡ m x é:

y = m x

A reta tangente à curva y = - sen ⁡ ( x / m ) é:

y = - 1 m x

As retas são perpendiculares entre si.

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