Enunciado

Coeficientes angulares de senoides

  1. Determine as equações para as tangentes às curvas y = sen ⁡ 2 x e y = - sen ⁡ x / 2 na origem. Existe algum aspecto diferente no modo como essas tangentes estão relacionadas? Justifique a sua resposta.
  2. O que se pode dizer sobre as tangentes às curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ x m na origem (m é uma constante ≠ 0 )? Justifique sua resposta.
  3. Para dado m , quais são os maiores valores de coeficiente angular que as curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ ( x / m ) podem ter? Justifique sua resposta.
  4. A função y = sen ⁡ x completa um período no intervalo [ 0   ,   2 π ] , a função y = sen ⁡ 2 x , dois períodos, a função y = sen ⁡ ( x / 2 ) , meio período, e assim por diante. Existe alguma relação entre o número de período que y = sen ⁡ m x completa em 0   ,   2 π e o coeficiente angular da curva y = sen ⁡ m x na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para podermos resolver esta questão, precisamos relembrar a equação de uma reta. Desta forma, uma reta é dada pela seguinte equação:

y - y 0 = m x - x 0

Em que ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto de tangência. No caso da origem, o ponto é O = ( 0,0 ) . O que nos falta determinar é esse m . O que ele é?

O número m é chamado de coeficiente angular da reta. E ele é calculado através da derivada da nossa função! Revisado estes conceitos, vamos a nossa questão.

Passo 2

Para analisarmos os maiores coeficientes angulares que às curvas y = sen ⁡ m x e y = - sen ⁡ x / m podem ter, precisamos maximizar as suas derivadas. Desta forma, vamos obter inicialmente as derivadas de cada uma delas. Começando pela função y = sen ⁡ m x , temos:

d y d x = m cos ⁡ m x

Agora, para y = - sen ⁡ x / m , temos:

d y d x = - 1 m cos ⁡ ( x / m )

Passo 3

Vamos começar nossa análise de maximização pela função y = sen ⁡ m x . A sua derivada é f x = m ⋅ cos ⁡ m x . Como - 1 ≤ cos ⁡ m x ≤ 1 , temos:

- m ≤ m ⋅ cos ⁡ m x ≤ m

Como não sabemos o valor de m , tomando o módulo, temos:

- m ≤ m ⋅ cos ⁡ m x ≤ m

Portanto, o maior coeficiente é y ' = m .

Passo 4

Para a função y = - sen ⁡ ( x / m ) , repetiremos a mesma análise. Portanto, temos:

- 1 m ≤ - 1 m ⋅ cos ⁡ x m ≤ 1 m

Tirando o módulo, descobrimos que o maior coeficiente angular é:

y ' = 1 m

Resposta

Para a curva y = sen ⁡ m x , o maior coeficiente angular é:

y ' = m

Para a curva y = - sen ⁡ ( x / m ) , o maior coeficiente angular é:

y ' = 1 m

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