Enunciado

Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.)

r = 2 + c o s 3 θ

Passo 1

Faala ae, beleza?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 2 + c o s 3 θ

E queremos desenhar o seu gráfico. Para isso, o enunciado já nos deu e disse que é um desses:

A nossa função aqui é descobrir qual dos gráficos representam a nossa equação polar!!

Para respondermos isso, vai partir do que a gente conhece da nossa equação.

Nesse caso, vamos começar analisar o que o cosseno nos tem a dizer e aí a gente vai implementando os outros termos da função e analisando com o comportamento.

Com essas análises, a gente vai descartando os gráficos que não fazem sentido com o que estamos pensando.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Bom... vamos relembrar a nossa equação:

r = 2 + cos ⁡ 3 θ

Olha... a gente pode começar analisando o cosseno!!

A gente sabe que o cosseno é uma onda periódica que a amplitude varia entre 1 e - 1 da seguinte forma:

Ao multiplicarmos o seu ângulo por 3 , estamos aumentando as oscilações em 3 vezes, ou seja:

E, somando 2 na função, estamos fazendo com que seu pico seja 1 + 2 = 3 e seu vale seja - 1 + 2 = 1 , veja:

Tá... mas o que a gente pode concluir daqui sobre a impressão dessa plotagem em um gráfico polar???

Como podemos ver, c o s 3 θ não cresce conforme θ aumenta, o que já nos leva a excluir os dois gráficos espirais.

Além disso, r não assume valores menores que 1 , o que nos deixa com duas opções: I e I V .

Passo 3

Pensa aqui comigo, o cos ⁡ 3 θ assume valor 1 quando 3 θ = π . O ângulo θ que isso acontece é:

3 θ = π

θ = π 3

Logo, a gente espera que a primeira curva (1) varie de 3 até 1 em menos da um quadrante completo. Já que o quadrante tem π / 2 radianos e a r atinge 1 em θ = π 3 < π 2 . Beleza?

Além disso, vemos pelo gráfico do passo 1 , que quando o θ vai de π 3 até π 2 , podemos ver que a r varia de 1 até 2 .

Opa, isso nos diz que ao terminar o primeiro quadrante, temos que estar em r = 2 . Sempre no sentido anti-horário, ok??

Dessa forma, temos a curva (1), na figura abaixo.

Passo 4

De π 2 até um pouco antes de 3 π 4 temos que r chega a 3 de novo.

Como 3 π / 4 é na metade do segundo quadrante, esperamos que r = 3 aconteça bem próximo à metade do segundo quadrante, montando metade da curva ( 2 ) .

Depois desse valor até θ = π , nosso r variou de 3 até 1 de novo, logo, terminamos a curva (2) em r = 1 , que é no final do segundo quadrante:

Continuando, de π até um pouco depois de 5 π / 4 (ou seja, um pouco depois da metade do terceiro quadrante) temos que r variou de 1 até 3 de novo.

E, daí até 3 π / 2 (final do terceiro quadrante), r chegou a 2 , construindo nossa curva (3).

Vamos continuar com esse raciocínio para chegar na curva (4).

Pois vemos que r deve bater 1 antes da metade do quarto quadrante e terminar esse último quadrante ( θ = 2 π ) em r = 3 .

Com isso, chegamos nessa figura aqui:

Beleza?? Logo, nossa resposta é a I V .

Resposta

O Gráfico correspondente é o I V .

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Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 1 + 2 sen ⁡ ( θ / 2 ) (nefroide de Freeth)
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 2 - 5 sen ⁡ ( θ / 6 )
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = e sen ⁡ θ - 2 cos ⁡ ( 4 θ ) (curva em borboleta)
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = sen 2 ⁡ ( 4 θ ) + cos ⁡ ( 4 θ )
Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira. r = 1 - 0,8 sen 2 ⁡ θ (hipopédia)