Enunciado

Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar dada em um ponto especificado pelo valor de θ .

r = 2 c o s θ ,     θ = π / 3

Passo 1

Galera, a primeira coisa que podemos fazer aqui é escrever as equações paramétricas. Logo,

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Vamos derivar a equação dada para encontrarmos d r / d θ .

d r d θ = - 2 s e n θ

No ponto que nos foi dado, o valor de r é igual a:

r = 2 cos ⁡ π 3 = 2 1 2 = 1

Passo 2

Usando o método para encontrar a inclinação de curvas parametrizadas, temos:

d y d x = d y d θ d x d θ = d r d θ s e n θ + r c o s θ d r d θ c o s θ - r s e n θ

d y d x = - 2 s e n θ s e n θ + 1 c o s θ - 2 s e n θ c o s θ - 1 s e n θ

d y d x = - 2 s e n 2 θ + c o s θ - 2 s e n θ c o s θ - s e n θ

Passo 3

Vamos aplicar o valor do ângulo que nos foi dado no enunciado. Assim, com θ = π / 3 , a inclinação da reta tangente é:

d y d x = - 2 s e n 2 π 3 + cos ⁡ π 3 - 2 s e n π 3 cos ⁡ π 3 - s e n π 3

d y d x = - 2 3 2 2 + 1 2 - 2 3 3 ⋅ 1 2 - 3 2 =

d y d x = - 2 3 4 + 1 2 - 3 2 - 3 2

d y d x = - 3 2 + 1 2 - 2 3 2 = - 2 2 - 3 = 1 3

Resposta

A inclinação da reta é igual a:

d y d x = 1 3

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A partir da Figura 19 parece que a limaçon perde sua covinha quando c = 1 2 . Demonstre isto.
A figura mostra o gráfico de r como uma função de θ em coordenadas cartesianas. Use-o para esboçar a curva polar correspondente.
No Exemplo 11 os gráficos sugerem que a limaçon r = 1 + c sen ⁡ θ tem um laço interno quando c1 . Demonstre que isso é verdadeiro e encontre os valores de θ que correspondam ao laço interno.
Mostre que a curva r = 2 - cossec ⁡ θ (também uma conchoide) tem a reta y = - 1 como uma assíntota horizontal mostrando que lim r → ± ∞ ⁡ y = - 1 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchoide.
Mostre que a curva r = sen ⁡ θ tg ⁡ θ (denominada cissoide de Diocles) tem a reta x = 1 como uma assíntota vertical. Mostre também que a curva está inteiramente dentro da faixa vertical0 ≤ x ≤ 1 . Use